割圆密率捷法
四卷。清明安图(约1692－1763)撰。明安图，字静庵，蒙古族，蒙古正白旗人。1712年为官学生，参加了《律历渊源》的编纂工作。1723年任钦天监五官正，1755年参与测量新疆各地经纬度，1762年为钦天监监正。明安图辛勤钻研三十余年，写成《割圆密率捷法》初稿，遗嘱其弟子陈际新、张肱，儿子明新“多续而成之”，经几年工作，陈际新等于1774年始克成书四卷。《割圆密率捷法》是一部研究幂级数展开式的著作。法国传教士杜德美1701年来华曾带来三个幂级数展开式：“圆径求周”、“弧背求正弦”、“弧背求正矢”，其时欧洲解析数学未传入中国，故杜氏未给出上述三式的理论根据，使国人仅得其式而未详其法。明安图乃奋起以中算割圆弧矢理论来证之。《割圆密率捷法》不仅记载了明安图对杜氏三式的证明，更有他由此得到的六个展开式及其证明。明安图的新式是：“弧背求通弦”、“弧背求矢”、“通弦求弧背”、“正弦求弧背”、“正矢求弧背”、“矢求弧背”。《捷法》卷一给出了杜氏三式证明，卷三与卷四的“法解上、法解下”仅解析此基本六法。为证“弧背求弦”，明安图从等分弧入手，找寻本弧通弦与分弧通弦间的关系。依据《数理精蕴》下编卷十六“新增有本弧之正弦求其三分之一弧之正弦”的方法，明安图推导出了本弦通弦与五分之一弧的通弦的关系式并获得结论：当m为奇数时通弦c可以用一个C1／m的多项式来表达。若m为偶数，则c的展开式是以C1／m为变量的无穷幂级数。当m为数很大时，则分弧通弦的和与全弧弧背密合，他因此推导出一个表示通弦的以弧长为变量的幂级数。明安图于求到以万分之一弧的通弦为变量，全弧通弦的级数展开式后认为：“弧，圆线也；弦，直线也，二者不同类也。不同类，虽析之至于无穷，不可以一之也。然则终不可相求乎?非也。弧与弦虽不可以一之，苟析之至于无穷，则所以不可一之故见矣。得其不可一之故，即可因理以立法，是又未尝不可以一之也。”他通过割圆连比例法，把弧与弦联系起来，互化曲直，“然而比例相较，而弧、矢、弦相求之密率捷法于是乎成”。明安图的“分弧通弦率求全弧通弦率数”是割圆连比例法证明无穷级数的基础。他指出：“按分弧求全弧通弦，即弧背求通弦所由起也。若以数求之，不胜其繁；今用借根方法，专取其率数，率数定，则数可得而求矣。”利用连比例和代数方法解决割圆密率，正是明安图捷法所在。对给出的证明，他十分自信：“以上九法，皆至精至密，任有圆线求直线，有直线求圆线，虽推至无穷，靡不合也。”当代中算史家李迪盛赞这一工作：“我们有理由认为，明安图是我国变量数学的先驱。他的思想虽晚于西方几十年，但却是独树一帜的，把我国已经落后了的数学向前推进了一步。”明安图的工作对于后世级数理论的研究有重要影响。孔广森《少广正负术》、汪莱《衡斋算学》、董祐诚《割圆连比例图解》、项名达《象数一原》等都与明的工作有关。陈际新续成《割圆密率捷法》后未能立即出版，但有抄本流传，直到1839年，岑建功从罗士琳处“假录其副，算校付梓”。1840年陈氏刊本，以上两种版本现藏北京图书馆；另外还有《观我生室汇稿》本；《古今算学丛书》本。